§ 2с. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. II. "Тяжелые хвосты" и их статистика

1. Отклонение от нормальности и наличие "тяжелых хвостов" у эмпи-рических плотностей привело к единодушному мнению, что для "правых хвостов" т. е. при х —у +оо
Р (Ц?>х)~х-аЬ(х), (1)
где "хвостовой индекс" а = а(Д) > 0 и! = L(x) - медленно меняющаяся L(xy)
функция: .
. > 1, х —У +оо, для любого у > 0. Аналогичное заключе-
L(x)
ниє делается и относительно "левых хвостов"
Отметим, что разного рода дискуссии в финансовой литературе на тему тяжелых хвостов и вытянутости можно найти в [46], [361], [419], а также уже в работах шестидесятых годов (см., например, [150], [317]).
В этих работах отмечается, что вытянутость и тяжелые хвосты плотности распределения возникают, например, в моделях ARCH, GARCH (см. п. 6, § Зс, гл. II), при рассмотрении см ее ей нормальных распределений. (В этой связи см. § Id в гл. III, где объясняется, как, например, гиперболические распределения могут быть получены в результате смешивания нормальных распределений с разными дисперсиями.)
В ряде работ (см., например, [46] и [390]) для распределений величин предлагается использовать ^распределение Стьюдента, имеющее плотность
. "-к
у/жп Г(§) V п
где целочисленный параметр п носит название "число степеней свободы" Из (2) видно, что это распределение относится к распределениям типа Парето с тяжелыми хвостами.
нормальным; при 0 < а < 2 соответствующее распределение является распределением типа Парето (1), где "хвостовой индекс" а есть в точности "индекс устойчивости"
Таким образом, гипотеза устойчивого распределения с 0 < а < 2 для описания распределений hk = естественна, поскольку для этого распределения имеются и тяжелые хвосты и в ы тянут ость, наблюдаемые в статистических данных. Помимо этого, обращение к устойчивым распределениям оправдывается следующим характеристическим свойством автомодельности (§ 2Ь, гл. III) этих распределений: если случайные величины X и Y независимы и имеют устойчивое распределение с индексом устойчивости а, то их сумма также имеет устойчивое распределение с тем же самым индексом, или, что то же, композиция распределений X и Y является распределением того же типа.
С экономической точки зрения это есть вполне естественное требование сохранения характера распределений данных при временной агрегации (time aggregation), выполнение которого для устойчивых распределений делает их применение еще более оправданным.
Однако при оперировании с устойчивыми распределениями возникает ряд существенных трудностей, вызванных следующими причинами.
Если X - случайная величина с устойчивым распределением индекса 0 < а < 2, то Е|Х| < оо, если только а > 1. И, вообще, Е|-Х"|р < оо тогда и только тогда, когда р < а.
Тем самым, у устойчивого распределения с индексом 0 < а < 2 хвосты настолько "тяжелы" что второй момент является бесконечным. Это обстоятельство вносит значительные трудности теоретического характера (на-пример, при анализе качества различных опенок, критериев, основанных на использовании дисперсии) и, с другой стороны, трудно поддается и эко-номическому объяснению, и реальной проверке в силу того, что имеется, как правило, лишь ограниченное число статистических данных.
В связи с последним обстоятельством отметим, что оценка истинного значения "хвостового индекса" а является, вообще говоря, делом доволь- но-таки деликатным.
Связано это с тем, что для "хорошей" оценки а надо, с одной стороны, иметь достаточно много наблюдений, с тем, чтобы набрать значительное число экстремальных значений, по которым только и можно оценить "хвостовые эффекты" и "хвостовой индекс" Но, с другой стороны, наличие большого числа "неэкстремальных" наблюдений будет вносить, к сожалению, смещение при оценивании истинного значения а.
Из свойств устойчивых распределений следует, что если их использовать для описания распределений финансовых индексов, то не удается совместить сразу три требования: сохранение типа распределений при композиции, наличие тяжелых хвостов с индексом 0 < а < 2 и конечность второго момента, а значит, и дисперсии.
Понятно, что конечность дисперсии имеет место для распределений типа Парето с "хвостовым индексом" а > 3. И хотя такие распределения не обладают свойством замкнутости относительно композиции, они обладают, тем не менее, важным свойством сохранения характера убывания плотности распределения при композиции: если X и Y имеют одно и то же распределение типа Парето с "хвостовым индексом" а и независимы, то их сумма X + Y также имеет распределение типа Парето с тем же самым "хвостовым индексом" а. С этой точки зрения распределения типа Паре- то можно считать удовлетворяющими желаемому свойству "устойчивости хвостового индекса" а при композиции.
Даже только из сказанного выше становится понятно, почему индексу а, определяющему характер поведения распределений величин на бесконечности, уделяется столь большое внимание. Можно дать также и эконо- мико-финансовое объяснение интереса к индексу а. Дело в том, что "хвостовой индекс" показывает, в частности, насколько активны на рынке игроки со спекулятивными интересами. Если "хвостовой индекс" а большой, то это говорит о том, что на рынке редки аномальные выбросы в значени-ях пен, что рынок ведет себя "гладко" без больших колебаний в значениях цен. В этом смысле рынок при больших значениях а может рассматриваться как эффективно функционирующий, и, тем самым, значение индекса а является некоторой мерой этой эффективности. (Дискуссию по этому поводу см., например, в [204]).
Обратимся к вопросу об оценивании "индекса устойчивости" для устойчивых распределений и, более общим образом, к "хвостовому индексу" для распределений типа Парето.
Сразу следует отметить, что в финансовой литературе нет единодушного мнения о том, каково же все-таки истинное значение "хвостового индекса" а для тех или иных обменных курсов, акций и других финансовых показателей. Объясняется это, как уже отмечалось, трудностью постро-ения эффективных оценок S;v (N - число наблюдений) параметра а. Сама же по себе постановка задачи оценивания этого параметра требует аккуратного формулирования всех предпосылок получения статистического "сырья" }, правильного выбора значений Д и т. д.
В финансовой литературе для оценки "индекса устойчивости" а часто используют (эффективные) оценки ajv, предложенные в работах [152] и [153] и определяемые следующим образом:
ajv = 0.827 3S ~ , 0.95 < / < 0.97, (3)
QO.72 — QO.28
где Qf есть квантиль порядка /, построенный по выборке объема N в предположении, что наблюдения подчиняются симметричному ус-тойчивому распределению.
В случае справедливости гипотезы о принадлежности закона распределения Law (hk), hk = к классу устойчивых распределений (с индексом устойчивости а) можно было бы, естественно, рассчитывать на то, что ajv с ростом объема наблюдений N стабилизируются (и имеет место сходимость а л/- к некоторому значению а < 2).
Однако здесь, как уже отмечалось, нет единодушия.
В ряде работ есть утверждения о "хорошей" стабилизации строящихся оценок для некоторых финансовых индексов - см., например, [88] и [474]. С другой же стороны, во многих работах приводятся результаты статистического анализа, пока-зывающие, что ajv имеют не только тенденцию роста, но даже стремление к значениям равным или большим 2 - см., например, [27] и [207] относительно акций на американском рынке и [127] по поводу акций крупных немецких компаний и банков. Это заставляет к гипотезе устойчивости относиться с осторожностью, хотя, разумеется, не противоречит гипотезе о том, что "хвосты" описываются распределениями типа Парето.
5. Приведем, следуя [204], результаты относительно значений "хвостового индекса" а обменных курсов валют в предположении, что для hk = h^ действует распределение типа Парето (1).
Согласно данным в [204], для "хвостового индекса" a = а(Д) были получены значения, приведенные в таблице, помещенной на следующей стра-нице.
Сделаем некоторые комментарии к этой таблице.
Опенки а параметра а, конструкция которых описана ниже в п. 6, строились на базе данных "Olsen & Associates" (§ lb). В случае Д = 6 час. точность оценивания уменьшается, что связано с недостаточным объемом наблюдений.
Важный вывод, который можно сделать из анализа значений этой таблицы (составленной по большой базе данных, а потому и представляющейся надежной), состоит в том, что по отношению к USD курсы основных\r\nА
курс^-^ 10 мин. 30 мин. 1 час 6 час.\r\nDEM/USD 3.11 ± 0.33 3.35 ± 0.29 3.50 ± 0.57 4.48 ±1.64\r\nJPY/USD 3.53 ± 0.21 3.55 ± 0.47 3.62 ± 0.46 3.86 ±1.81\r\nGBP/USD 3.44 ± 0.22 3.52 ± 0.46 4.01 ± 1.09 6.93 ± 10.79\r\nCHF/USD 3.64 ± 0.41 3.74 ± 0.82 3.84 ± 0.77 4.39 ± 4.64\r\nFRF/USD 3.34 ± 0.22 3.29 ± 0.47 3.40 ± 0.69 4.61 ± 1.21\r\nFRF/DEM 3.11 ±0.41 2.55 ± 0.23 2.43 ± 0.23 3.54 ±1.42\r\nNLG/DEM 3.05 ± 0.27 2.44 ± 0.08 2.19 ±0.12 3.37 ± 1.43\r\nITL/DEM 3.31 ± 0.51 2.93 ±1.17 2.54 ± 0.49 2.86 ± 0.98\r\nGBP/DEM 3.68 ± 0.35 3.63 ± 0.42 4.18 ± 1.67 3.22 ± 0.79\r\nJPY/DEM 3.69 ± 0.41 4.18 ±0.90 4.13 ±1.05 4.71 ± 1.61\r\n
валют FX-рынка имеют (для Д = 10 мин.) распределение типа Парето с "хвостовым индексом" а ~ 3.5 с его возрастанием при увеличении интервала Д. Тем самым, становится весьма правдоподобным, что дисперсия величин hк = конечна (свойство весьма желательное!), хотя этого нельзя сказать о четвертом моменте, определяющем величину вытяну- тости распределений в окрестности центральных значений.
В другой работе "Olsen & Associates" [91], приводятся также данные курсов XAU/USD HXAG/USD (XAU - золото, XAG - серебро). Для Д = 10 мин. соответствующими оценками а являются 4.32 ± 0.56 и 4.04 ± 1.71; для Д = 30 мин. эти оценочные значения есть 3.88 ± 1.04 и 3.92 ± 0.73 соответств енно.
6. В этом пункте будет описана только идея построения оценок а "хвостового индекса" а (с применением техники бутстрепа (bootstrap) и складного ножа (jackknife) при определении смещения и стандартного уклонения оценок), вошедших в представленную выше таблицу из [204].
Рассмотрим распределение Парето с плотностью
аЬа
f"b(x) = -ггг . х > (4)
и fab(%) = о для X < ь.
Приз; > b
= In а + а In 6 — (а + 1) In я. (5)
Отсюда находим, что опенка максимального правдоподобия aN по N независимым наблюдениям (Xі,..., Хм), отыскиваемая из условия
N N
max П fab(Xk) = J] fsNb(Xk), (6)
" fc=i fe=i
определяется из соотношения
N
I X • \\
(7)
Поскольку для а > 0 и /3 > 0
то
Е In ^ = aba j™ (in f ) dx = І .
Тем самым,
aN J a
т.е. величина l/aN несмещенным образом опенивает 1/а, так что найденная оценка ajv параметра а обладает вполне хорошими свойствами, но, конечно, в предположении, что истинное распределение является (точно) распределением Парето с известным "началом" Ь, а не распределением типа Парето, для которого "начало" b просто не определено.
Тем не менее, возникает естественная идея (см. [223]) использования формулы (7) для оценки параметра а в распределениях типа Парето, но с заменой неизвестного "начала" b некоторой подходящей оценкой.
Можно поступить, например, так. Выберем некоторое достаточно большое (но не очень большое по сравнению с N) число М и воспользуемся для построения оценки параметра а модификацией формулы (7) с заменой Ь на М и суммированием по тем і ^ N, для которых Х% ^ М.
С этой целью определим
Xi
ХІІ11 М
1N,M ~ v^ т TFT >
Хі>М}
где
f 1, если X ^ М, /м(® — <
L 0, если х < М.
Если обозначить
"ЛГ.М = XI Ім(Хі),
ТО перепишется в виде
1N,M = ~~ Е lnff\' (9)
и в качестве оценки параметра а естественно взять значение aN м такое, что
1 = In,м- (Ю)
aN,M
Можно поступить и по-другому. Упорядочимвыборку (Xi,X2,.. ¦, XN) в выборку (Х^,Х2,...,Х^)так, чтоХ{ > Х2 ^ ••• ^ Х^. Зафиксируем снова некоторое число М N в качестве "начала" Ь и положим
1n,m = jj-jF ? (П)
Тогда в качестве опенки параметра а можно взять значение ct*N^M такое, что
= (12)
N,M
Так
полученная оценка a^j ^ была предложена Б. М. Хиллом в [223], и ее принято называть оценкой Хилло.
Понятно, что "хорошие" свойства этой оценки определяются правильным выбором числа М, т. е. числа максимальных порядковых статистик, формирующих статистику Но понятно также, что трудно рассчи
тывать на какой-то универсальный выбор числа М для широкого класса
медленно меняющихся функций L = Ь(х), определяющих повешение, скажем, правого "хвоста"
Р(ХІ >х)~ х~аЬ(х). (13)
Как правило, свойства рассмотренных выше оценок и <*N,M
изучают, ограничиваясь тем или иным подклассом функций L = L(x). Например, можно предположить, что L = Ь(х) принадлежит подклассу
L7 = {L = L{x): L(x) = 1 + саГ7+о(аГ7), c>0},
где 7 > 0. В таком предположении в [223] показано, что если при N оо величина М —ї оо, но так, что
N У+<*
ТО
Law(л/М (a*N M - а)) J/{0, а2), т. е. имеет место асимптотическая нормальность оценок (а^ м).
<< | >>
Источник: Ширяев А. Н.. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели.Москва: ФАЗИС,1998. 512 с. (Стохастика, вып.2). 1998

Еще по теме § 2с. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. II. "Тяжелые хвосты" и их статистика:

  1. § 2с. Одномерные распределения логарифмов относительных изменений цен. II. "Тяжелые хвосты" и их статистика
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -